A expensas, a cuenta de, por cuenta de

Expensas viene del latín y significa gastos o costas, por eso vivir a expensas de alguien es lo mismo que vivir a su cargo o por su cuenta, pero no a su cuenta.
Que alguien haga esto o aquello a expensas de otro, es cierto solamente cuando el otro se hace cargo de los gastos, es decir, cuando los gastos corren por cuenta de la dirección. Pero no es lo mismo correr por cuenta que correr a cuenta.

Por cuenta de alguien significa a su costa o a sus expensas. A cuenta de algo se refiere a un pago a cuenta, es decir, como anticipo, en compensación o a cambio de algo, como el matón de una película que recibe una cantidad a cuenta como anticipo por el “trabajito” al que se ha comprometido. Quien paga el anticipo lo hace a cuenta, mientras que el matón recibe ese anticipo también a cuenta del total que ambos han pactado.